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人教版数学必修5（A版）《正弦定理》的教学设计(此教案获市教学设计评比一等奖省教学设计评比三等奖)

作者：来源： 发布时间：2009年12月12日 点击数：

 

一、设计思想：
《正弦定理》是一节定理发现探索应用课，本课教学中，立足于“数学教学是数学活动的教学”这一基本理念，让学生经历提出问题，解决问题、初步应用等过程，使学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”,三维立体目标均得到了较好的落实。教学中，力争采用新课标要求的“不必在恒等变换上进行过于繁琐的训练”,而是倡导自主探索、合作交流与实践创新的数学学习方式,以问题引路，伴以活动探究，发挥多媒体在数学学习中的作用，鼓励学生在课本的基础上大胆创新，把问题引向深入。
1、分析《课程标准》、《学科教学指导意见》对本课教学内容的要求；
《标准》将解三角形作为几何度量问题来展开，强调学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与度之间的数量关系，解决简单的三角形度量问题。这就要求在教学过程中，突出几何的作用和数学量化思想，发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的探究过程、再创造过程。
2、分析本课内容的组成成分和在模块学习中的地位与作用；
本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（A版）第一章中，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。本课内容——正弦定理的探究证明和简单应用显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，而定理本身的应用（定理应用放在下一节专门研究）又十分广泛，因此做好该节内容的教学，使学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“类比—猜想—证明”的科学研究问题的思路和方法，体会由“定性研究到定量研究”这种数学地思考问题和研究问题的思想，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。
3、分析本课内容与初中教材相关内容的区别和联系。
  本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。对于正弦定理，教科书首先让学生回忆任意三角形中有“大边对大角，小边对小角的边角关系”，引导学生思考是否能得到这个边、角关系准确量化表示的问题。由于涉及边角之间的数量关系，就比较自然地引出三角函数。在直角三角形中，边之间的比就是锐角的三角函数。研究特殊的直角三角形中的正弦，就很容易得到直角三角形中的正弦定理。这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。
二、教材分析：
本章主要内容是介绍三角形的正弦定理、余弦定理，及其简单应用，旨在通过对任意三角形边长和角大小关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题以及能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。原《大纲》中，解斜三角形作为平面向量知识的应用，突出工具性和应用性。而《新课程标准》将解三角形作为几何度量问题来处理，突出几何的作用，为学生理解数学中的量化思想、进一步学习数学奠定基础。解三角形处理的是三角形中长度、角度、面积的度量问题，长度、面积是理解积分的基础，角度是刻画方向的，长度、方向是向量的特征，有了长度、方向，向量的工具自然就有用武之地。
对于《正弦定理》这一节的内容与传统有着很大的区别。
a、课标定位——正弦定理是用来处理三角形边长、角度的工具。
b、这节在本章有何作用？——为解三角形提供重要而基本的工具。
c、为什么不用向量证明？——本节内容定位：作为几何度量处理；非向量的应用。另外按照从简原则和最近发展区原则采用高的两种表示方法来证明。
d、教材例题、习题的处理？——新教材中共安排2个例题，2个练习题， 从表面上看，题目很简单，但是每个例题在本节中起了非常重要的作用，对后续的学习有深刻影响！但考虑到学生需要体验定理本身，故设计中围绕定理的应用选择了例1，而对例2在数据上做了改编并进行了变式，对例题进一步挖掘。
三、学情分析：
通过前一阶段的教学，学生对三角形、三角函数和平面向量的知识已有了一定的认知结构，主要体现在三个层面：
a、知识层面：在初中学生已有三角形的定性关系，在高中阶段又学习了三角函数的定义、和运算以及平面向量的有关知识。
b、能力层面：高中生思维活跃,求知欲旺盛,已经具有较强的概括能力,逻辑思维能力也日趋严密。但对“类比—猜想—证明”的科学研究方法掌握不够，还需老师一定的引导。
c、情感层面：学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性。但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡。
基于以上分析，根据最近发展区原理，本课从有利于学生主动参与探索的角度创设数学情境，紧紧地抓住高中学生好奇的心态、探究的心理，利用“正弦定理的发现和证明”这一富有挑战性和探索性的材料，精心设计教学情境，使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识。
本节课从问题情境的创造到数学实验的操作，再到证明方法的发现，都对教材作了一定的调整和拓展，使其更符合学生的思维习惯和认知水平，使学生在知识的形成过程、发展过程中展开思维，发展了学生的能力。
数学实验走进了课堂，这一朴实无华而又意义重大的科学研究的思路和方法给了学生成功的快乐；这一思维模式的养成也为学生的终身发展提供了有利的武器。
四、教学目标：
a、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
b、过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
c、情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
五、重点难点：
重点：正弦定理的发现与证明；并能应用正弦定理解三角形。
难点：钝角三角形中正弦定理的证明和正弦定理解两边一对角三角形时解的情况。
六、课前准备：
本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。为了有效实现教学目标，条件许可，可以辅以《几何画板》引导学生探索正弦定理的得出过程，形象直观。学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形的深入探讨。

正北方向

 
七、教学过程：

 

 

 
 （一）创设问题情景

 

问题一：一天，我核潜艇A正在某海域执行巡逻任务，突然发现其正东处有一敌艇B正以30海里/小时的速度朝正北方向航行。经研究，决定向其发射鱼雷给以威慑性打击。已知鱼雷的速度为60海里/小时，问怎样确定发射角度可击中敌舰？                                                                                 

 

 
    [设计一个学生比较感兴趣的实际问题，吸引学生注意力，使其立刻进入到研究者的角色中来！学生可以利用初中的知识：在直角三角形中30°所对的边是斜边的一半，解决这一问题。]

 

    问题二：如果其它条件不变，划线部分改为敌艇朝北偏西40°方向航行，此时，我方又该如何确定发射角度可击中敌舰？
     学生陷入了沉思，这个时候，组织学生展开大胆的猜想！（学生的答案五花八门）
      [学生从已知到未知，与问题一形成对照，思维既有延续性又产生在强烈的意识冲突，激发了解决问题的迫切愿望。]
（二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型
1．提出实际问题后，启发学生讨论下面问题。
⑴这个过程可以转化为什么样的数学问题？
⑵数学建模，即将实际问题化为数学问题，即在△ABC中，已知A、b、a如何求B角呢？
①    这个问题整体上讲属于解三角形问题！（一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形(solving triangles)）。
[判断问题的实质是解决问题的第一步]
②解三角形问题我们已经掌握了那些主要知识、工具？
③进而启发学生大胆想象边和角是否存在什么定量的关系:诸如，，以及，，  等 。（学生还有其它结论）鼓励学生大胆猜想。
④然后可将事先分小组合作的学生进行探讨：借助特殊三角形如直角等腰或其它，也可以利用几何画板进行验证。然后请代表发言，给出正弦定理的雏形，当然学生可能未必能得出结论，按⑤继续启发。
⑤思考解决问题的思路（能否将解一般的三角形问题转化为解直角三角形问题？转化是一种重要的科学思维方法）
 [直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维，激发学生的探索精神!]

A

 
C
B
（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律

 

1、回忆一下直角三角形的边角关系? （引导学生先从直角三角形）
                 
                                             （如图1.1—1）
如图1.1—1，在中，∠C是最大的角，所对的斜边AB是最大的边，要考虑边长之间的数量关系，就涉及到了锐角三角函数.根据正弦函数的定义，
  
                                    
2、引导过程：
①由问题一的解决引导学生从、的表达式中发现联系（都有C）；（使定理初露头角）
 ②继续引导学生观察特点，有a边A角，b边B角；
③接着引导：能用c边C角表示吗？使定理内容最终浮出水面,在直角三角形中，
④而后鼓励猜想：在直角三角形中成立了，对任意三角形成立吗？
[爱因斯坦说：发现问题比解决问题更重要，这样设计是为了让学生体验了发现的过程，从学生熟悉的知识内容入手，观察发现，然后产生猜想，进而完成一般性证明。]
（四）让学生进行各种尝试，探寻理论证明的方法。
1．那这一结论对任意三角形都适用吗？指导学生用刻度尺、圆规、计算器等工具对一般三角形进行验证。（课堂上，可以用《几何画板》进行验证。）
2．让学生总结实验结果，得出猜想：在三角形中，角与所对的边满足关系
 [“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路！]
3．启发学生给予证明：
【证明定理】
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

A

 
B
C
D
证明：如图1．1-2，当 ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD= ,则，                         

 

同理可得，                                              
从而       
（教师边分析边引导学生，同时板书证明过程。）                     (图1．1-2)
探究：当△ABC是钝角三角形时，以上等式成立吗？（可让小组进行探究）
 
 
 
 
 

          (图1．1-3)
学生中可能还会存在利用面积相等和向量的方法以及外接圆的方法。此时教师要因势利导，得出
① =
②    此类的结论。但千万不能强扭，所谓强扭的瓜不甜，增加教材内容，从而增加学生负担。
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理（law of sines）：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
 

 

 
 

 

 

【理解定理】
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；
（2）等价于，，
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
（五）应用迁移，拓展创新
用正弦定理来解决一下课首提出的问题。
[在学生给出精确答案后，动画演示鱼雷击中敌舰，让学生感受成功的快乐！]
可以总结：同学们，当前世界局势主题是和平，但局部争端不断。我国军事装备中的核潜艇属世界一流水平，而所有这些尖端科技中都离不开数学知识。我们现在的学习不仅是自身成长的需要，更是国家的需要。学好数学，扬我军威，扬我国威！
[抓住学生的年龄特点，适当地进行爱国主义教育，加强努力学习的责任心]
【例1】在中，已知，， cm，解三角形。
分析：“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为求出第三个角∠C。再由正弦定理求其他两边。求边b时由教师分析。求边c时由学生练习。并根据时间可有针对性地指导一两个学生，最后提问一学生回答即可。
解：根据三角形内角和定理，
；
根据正弦定理，；
根据正弦定理，
[对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。]
例1完成后可总结一下利用正弦定理可解决例1这种类型的题目：“已知三角形中两角及一边，求其他元素”。马上接着过渡下去，还可用来解决例2这种类型的题目：“已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素”，接着分析例2并解答。

 

                  图1．1-4
 
【例2】在△ABC中，∠B=，c=，b=，求∠C。（图1．1-4）

 

 
答案：∠C=或
 
 
 
 
练习：设计关于‘已知两边和一边对角解三角形’的三个问题，由同学们讨论分析，并让三位学生上黑板表演。  
1. 在△ABC中，已知 a=4，b=      ，A= 45º,    求 B 。
2．在△ABC中，已知 a＝4, b＝     ，A＝30°, 求 B 。
3．在△ABC中，已知 a= 8，b=      ，A= 45°， 求 B 。
学生一：由正弦定理得：
        sinB= ==1 , ∴B= 90º
学生二：∵        ∴sinB= = =
∴ B= 45º
学生三：在△ABC中，
∴ sinB=  == ，   ∴ B= 30º
教师问：哪位同学来评析，题1的解题过程是否严谨？为什么？
学生答：不严谨，因为若B∈R ，满足 sinB=1的角有无穷多个，
        因此必需说明：在△ABC中，B∈（0º，180º），B= 90º。
教师讲：这位同学说得很好。数学是清楚的，推理是严密的，不存在丝毫的含糊。我们再来看题2、题3的解题过程，它们是否也存在问题？哪两位同学上来评析，并改正。
学生甲：因为B∈（0º，180º），满足 sinB=的角有两个，所以B=45º 或 B=135º 。
学生乙：因为B∈（0º，180º），满足 sinB =  的角有两个，所以B=30º 或 B=120º 。
教师问：甲乙两位同学的评析是否有道理？谁还有补充，请举手。（有的说对，有的说错，可引导小组交流讨论，有的举手…… ）
学生丙：我认为，在题3中，虽然B∈（0º，180º），满足 sinB =  的角有两个，但已知a >b,
A=45º>B,因此 B=120º应舍去，则有 B=30º 。（老师当场表扬丙同学的思维严密。）
学生丁：在题2中，答案B=45º 或 B=135º没错，但为什么取两解而不是一解？要有充分的理由：a < b , A= 30º< B .否则思维不严密。
教师讲：（先肯定两位同学的补充）从上面三个问题的探究，你们发现什么问题？得否出什么结论？
学生：已知两边和一边对角解三角形，三角形可能有一解，也可能有两解，解的情况要根据三角形中大边对大角，小边对小角的原则来判定。 ………
 
 [ 评述：解决已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解、一解和无解的情形。用此题替换教材的例2，主要目的是通过好运算的数据将题目再挖掘一下，为P9的《解三角形的进一步讨论》作了一个很好的台阶。教材的例2可以让学生在进行总结后进行实际运算，增强运算能力同时也感受正弦定理第二个应用。]
（六）方法反思，小结提炼
1.正弦定理具有对称和谐美。
2.“类比→实验→猜想→证明”是一种常用的科学研究问题的思路和方法。
3.正弦定理可以解两角一边，两边一对角类型的三角形。
4.在解两边一对角类型的三角形时可能出现解的情况。
[此环节可由学生总结归纳，总结概括一节课的所得，一方面检验学生的知识掌握；另一方面在课堂总结的过程中，学生感受到获得新知的快乐。]

创设情境

布疑激趣
 
 观察问题
建立模型
 探寻特例提出猜想
深入思考
证明猜想
简单应用
总结评估
→
→
→
→
八、知识结构或板书设计。

 

 
九、作业设计。
1．★在△ABC中，sinA=sinB，则必有（    ）
   A．A=B        B．A≠B          C．A=B或A=C－B          D．A+B=
2．★在△ABC中，b=2asinB，则B+C等于（    ）
   A．300                              B．1500
   C．300或1500                        D．600或1500
3．★在△ABC中，，c=2，C=600，则A等于（    ）
   A．1500                             B．750
   C．1050                             D．750或1050
4．★★△ABC中，(b+c):(a+c):(a+b)=4:5:6，则sinA:sinB:sinC等于（    ）
   A．6:5:4                             B．3:5:7
   C．4:5:6                             D．7:5:3
5．★已知△ABC中，b=3，c=3，B=300，则a=___________.
6．★已知△ABC中，A=600，a=，C=4，那么sinC=_____________.
7．★★★在△ABC中，a+b=12，A=600，B=450，则a、b的值分别等于___________.
8．★★已知△ABC中，解三角形：
 (1) c=10，A=450，C=300；
 (2) c=，A=450，B=600；
(3) a=，b=，B=450.
9．★★★在△ABC中，已知下列条件，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）
(1) c=20cm，A=600，B=450；
(2) c=54cm，b=39cm，B=1150
10．思考：①正弦定理还有其它证法吗？（看课堂学生情况而定）
②三角形中还有其它的边角定量关系吗？（为余弦定理作好铺垫）
（本题可以以小组为单位交作业）
参考答案
1.A 2.C 3.C 4.D 5.6或3 6.  7.36－2  或12－24
8. (1) (2), a=3-,b=
(3)   或，
设计目的说明：
（1）这一组目标检测的目的是巩固和加强新知，是新授课的补充和延续。
（2）设计时我考虑到学生之间的差异。俗话说：“因材施教”，因此我在题前表明了星级，可让同学们有选择完成。根据学生的学习过程，按照教育教学循序渐进的原则，精心设计练习的层次，这既是学生能力转化的客观规律，又是学生认知规律的反映。我们常说作业与练习要有一定的坡度和难度，正是练习设计的层次性要求。
（3）学生的学习要具备自主性、探究性和合作性是现代学习方式的根本指向。我在设计作业与练习时要充分理解新课程的精神，很好地把握学生学习能力培养的多方面内涵，满足学生学习自主性尊重，同时又能促进学生的合作学习开展，从而实现自主性和合作性的有机结合
（4）新课标指出：数学学习中教师的“教”和学生的“学”必须是开放而多样的。T10的实际使学生熟练地掌握知识，培养思维品质的具体措施，练习要刻意减少指令性的成分，增加练习的开放性，以使学生的思路更广阔、更灵活。
【问题研讨】
问题一：在本教学设计中，通过搭建创设具体情景平台来引入正弦定理与教材中“大边对大角” 的引入不同，两种方法哪种更自然，使学生发现正弦定理的过程更直接？
问题二：新教材中共安排2个例题，2个练习题， 从表面上看，题目很简单（数据采用现实数据），但是每个例题在本节中起了什么作用，对后续的学习有何影响？ 本案作了修改，并配以一套练习进行了拓展，这样做是否违背了编者的初衷？
 
【参考文献】
人民教育出版社，《数学教师教学用书》
人民教育出版社，《数学课程标准》
石永生，《中学数学新课程课堂教学案例》，广东高等教育出版社，2003年版
数学课程标准研制组，《数学课程标准解读》，江苏教育出版社，2004年版130页
毛永聪，《中学数学创新教法》，学苑出版社，1999年版
王鹏远，《用几何画板辅助数学教学》，人民教育出版社，2001年版
田才林，《正弦定理》，数学教育交流站http://blog.cersp.com/16598/802031.aspx

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