立体几何平面化教学

 

【摘要】  学好立体几何要具备一定的空间想象能力，部分学生尤其女生在学习数学时容易在立体几何这一章产生分化，所以本章的教学成为高中数学教学的重要部分.立体几何是平面几何的推广和发展,因此解决立体几何问题要同平面几何联系起来，要从立体图形与平面图形间交换转化，时常从三维退到二维，在解决二维基础上，再拓展到三维，即以退为进.本文就思维平面化、图形平面化、关系（方法）平面化三方面来阐述立体几何平面化教学.

【关键词】：立体几何  平面化  思维  图形  关系

一、              思维平面化 

针对一个立体几何模型或立体几何问题可以先构造一个类似的平面几何模型或平面几何问题（三维化归为二维）去思考，再运用类比联想的思维方法将平面几何问题类比联想推广到立体几何中去，将问题解决。

问题1．一个平面可以将整个空间分成几部分？两个平面可以将整个空间分成几部分？三个平面可以将整个空间分成几部分呢？

我们如果将此问题降维化为平面问题，只要将空间对应成面，面对应成线，线对应成点，原问题转化为：一条直线可以将整个平面分成几部分？两条直线可以将整个平面分成几部分？三条直线可以将整个平面分成几部分呢？这就成了学生熟悉的平面分割问题，（举三条直线为例）

现将每一条线展成一个面得到如下图所示：

 

 

 

 

 

问题2.已知：G是△ABC重心，平面α过点G，使A点与B，C两点分别在平面α的两侧．作AE⊥α于E，作BE⊥α于F，作CH⊥α于H．试猜想AE与BF，CH的关系，并证明你得到的结论．

用类比联想的思维方法将它化归为平面几何问题：

已知：G是△ABC重心，直线l过点G，使A与B，C两点分别在l的两侧．作AE⊥l于E，作BF⊥l于F．作CH⊥l于H．试猜想AE与BF，CH的关系，并证明你得到的结论．

平面几何：如图．作DM⊥l于M．则BF+CH=2DM=AE．

平面几何：AE=BF+CH．

由平面几何问题的证明方法类比类比到立体几何的的证明．

立体几何：延长EG交FH于N，则平面AEGND和平面BCHF交于DN．

因为  平面AEGND⊥α，平面BCHF⊥α，所以  交线DN⊥α，

所以  DN⊥FH．故BF+CH=2DN=AE．

问题3.自空间一点分别向二面角两个面引垂线，它们所成的角与二面角的平面角的大小关系是（  ）A.相等   B.互补   C.无关   D. 相等或互补

若将此命题类比成平面问题可以叙述为：自平面一点分别向一个角的两边引垂线，它们所成的角与已知角的大小关系是（  ）

问题4.（2006年江西卷）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S₁，S₂，则必有（   ）

A.     S₁<S₂

B.     S₁>S₂

C.     S₁=S₂

D.     S₁，S₂的大小关系不能确定

用类比联想的思维方法将它化归为平面几何问题：如图，在三角形ABC中，直线DE经过三角形的内切球球心O，且与AB，AC分别交于D、E，如果直线DE将三角形分成面积相等的两部分，设四边形DECB与三角形ADE的周长分别是C₁，C₂，则必有（   ）

A.C₁<C₂

B.C₁>C₂

C.C₁=C₂

D.C₁，C₂的大小关系不能确定

平面几何：如图．连OA、OB、OC

则S_DBCE＝S_ΔODB＋S_ΔOBC＋S_ΔOCE,S_ΔADE=S_ΔOAD＋S_ΔOAE又S_DBCE＝S_ΔADE 而每个三角形的高都是原三角形的内切球的半径，故DB+BC+CE=EA+AD又边DE公共，故选C

由平面几何问题的证明方法类比类比到立体几何的的证明．

立体几何：连OA、OB、OC、OD

则V_A－BEFD＝V_O－ABD＋V_O－ABE＋V_O－BEFD

V_A－EFC＝V_O－ADC＋V_O－AEC＋V_O－EFC又V_A－BEFD＝V_A－EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S_ABD＋S_ABE＋S_BEFD＝S_ADC＋S_AEC＋S_EFC又面AEF公共，故选C

二、              图形平面化 

将空间立体图形“展平”是平面图形是解决立体几何的常用方法之一，如经常把圆柱的侧面展开得矩形．有时多面体的问题也通过“展平”的方法去解决．

1.教材中倡用 “以直代曲”的思想.比如在推导圆柱、圆锥，圆台侧面积公式时就是将侧面展开，转化为长方形、扇形、圆环的一部分而得以解决.又如欧拉公式证明中的思路一：将多面体压缩为平面图形加以研究.

2.解决空间几何体表面路程最短问题惯用立体图形平面化思想，即将表面展开加以研究.

问题5.在一个长、宽、高分别为7m、8m、4m的教室中，有一只蚂蚁要从天花板的一个角落爬到地面与其相对的角落觅食，如何爬才能使路程最近？

此问题实际上是求长正方体AC₁上两点A、C₁的表面距离，若将其表面沿A´B´（第一个图形）或沿DC（第二个图形）展成平面图形就一目了然，如下图所示.

       

方案1.AC´²=（4+8）²+7² 

方案2.AC´²=（4+7）²+8²

方案3.AC´²=（8+7）²+4²

问题6  如图．正三棱锥A-BCD，底面边长为a．侧棱长为2a．过点B作与侧棱AC，AD相交的截面．在这样的截面三角形中，求周长的最小值．

略解：把正三棱锥的侧面展开为如图．

因为  BB₁∥CD，

所以  ∠BED=∠EDC=∠EDB，BE=BD=a．B₁F=B₁C=a

三、              关系（方法）平面化 

《数学课程标准》指出：“要重视从学生已有的知识中学习数学、理解数学。”立体几何是在学生已有平面几何知识的基础上进行教学，可以看做是思维能力的拓展．在立体几何教学中，面对新的问题、新的关系可以平面化，化为平面几何去解决.

1.异面直线所成角的确定

已知两条异面直线a,b，经过空间任意一点O作直线a´∥a, b´∥b,由于a´和b´所成角的大小与点O的选择无关，我们把a´与b´所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.通过画平行线的方式，使两条异面直线移到同一平面位置上，是研究异面直线所成的角时使用的方法，将立体问题转化为平面关系.

2.线面角的确定

一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角（斜线和平面的夹角）.

3.二面角的度量

一个平面垂直于二面角α-l-β的棱l，且与两个半平面的射线OA、OB，O为垂足，则∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.二面角的大小是通过它的平面角来度量的.

4.计算平面化

立体几何中两个典型的计算----角（异面直线所成角、线面角、二面角）、距离（点到面距离、线到面距离、异面直线距离），一般遵循三个步骤：作、证、算.在第三步的算中通常将线或角落实到具体的平面三角形中计算.

立体几何的教学要与平面几何统一起来，研究它的思维过程体现了逻辑思维中的类比、联系思维，类比是进行合情推理的一种重要方法.在数学中，类比是发现概念﹑方法﹑定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造数学新分支的重要途径.教师在教学过程中应努力培养学生运用类比、转化方法、联系观点进行合情推理的能力.并将此意识渗透给学生，培养学生用联系的观点，对立统一的观点认识事物.

 

【参考文献】

1.耿道永   例谈化归与转化思想在立体几何中的应用  <<高中数理化 >>2002年04期

2.任杨敏   也谈立体几何教学与平面几何教学的统一性<<渭南师范学院学报 >>2005年z2期

3.全日制普通高级中学教科书（必修）数学 第二册（下B）    人民教育出版社  2006.6